题目
在平面直角坐标系中,菱形OABC的OC边落在x轴上,∠AOC=60°,OA=60
.若菱形OABC内部(边界及顶点除外)的一格点P(x,y)满足:x2-y2=90x-90y,就称格点P为“好点”,则菱形OABC内部“好点”的个数为( )
(注:所谓“格点”,是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点.)
A. 145
B. 146
C. 147
D. 148
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(注:所谓“格点”,是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点.)
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B. 146
C. 147
D. 148
提问时间:2020-10-24
答案
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∵∠A0C=60°,OA=60
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∴∠OAQ=30°,
∴OQ=30
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由勾股定理得:AQ=90,
∵x2-y2=90x-90y,
∴(x-y)(x+y-90)=0,
∴x=y,x+y=90,
BH=90 OA:y′=
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(1)y=x时,令y=90 则x=90,
作直线y=x的图象,交AB于D,
∵AQ=90,
∴D(90,90),
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∵边界及顶点除外
∴y=x时有90-1=89个点符合(D点除外),
(2)y=-x+90时,
∵直线OA的解析式为y′=
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∴令y=y′则x=45(
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∵
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∴x≈32.9(取x=33),
则直线OA于直线y=-x+90的交点是(45
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再令y=0 则x=90,
∵边界及顶点除外,
∴y=-x+90时有90-32-1=57个点符合,
∴有57+89-1=145个点符合,
故选:A.
过A作AQ⊥OC于Q,过B作BH⊥X轴于H,求出OQ、AQ,根据x2-y2=90x-90y,求出x=y,x+y=90,求出BH=90 OA:y′=
x(1)y=x时,有90-1=89个点符合(2)y=-x+90时,令y=y'则x=45(
-1),y=-x+90时有90-32-1=57个点符合,有57+89-1=145个点符合,即可得到答案.
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菱形的性质;坐标与图形性质;含30度角的直角三角形;勾股定理.
本题主要考查对菱形的性质,勾股定理,含30度得直角三角形的性质,坐标与图形性质等知识点的理解和掌握,能根据已知条件找出规律是解此题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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