题目

利用等价无穷小量计算极限 1,x趋近于0时(cos2x-cos3x)/(√（1+x^2)-1)
2,x趋近于0时（e^x-1)sinx/(1-cosx) 3,x趋近于无穷时x^2(1-cos(1/x)) 4,讨论函数f(x)=e^x(x＜0）；f(x)=4（x=0);f(x)=1+x(x＞0）在x=0及x=1处的连续性

提问时间：2020-10-24

答案

1、lim[x→0] (cos2x-cos3x)/[√(1+x²)-1]
=lim[x→0] (cos2x-1+1-cos3x)/[√(1+x²)-1]
=lim[x→0] (cos2x-1)/[√(1+x²)-1] + lim[x→0] (1-cos3x)/[√(1+x²)-1]
cos2x-1等价于-(1/2)(2x)²=-2x²,1-cos3x等价于(1/2)(3x)²=(9/2)x²
√(1+x²)-1=(1+x²)^(1/2)-1等价于(1/2)x²
这样上式化为：
原式=lim[x→0] -2x²/[(1/2)x²] + lim[x→0] (9/2)x²/[(1/2)x²]
=-4+9=5
2、e^x-1等价于x,sinx等价于x,1-cosx等价于(1/2)x²
原式=lim[x→0] x²/[(1/2)x²]=2
3、1-cos(1/x)等价于(1/2)(1/x²)
原式=lim[x→∞] x²(1/2)(1/x²)=1/2
4、lim[x→0-] f(x)
=lim[x→0-] e^x
=1
lim[x→0+] f(x)
=lim[x→0+] (1+x)
=1
f(0)=4
因此函数在x=0处不连续,是可去间断点.
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