题目

过点M(2,4)向圆C:(x-1)^2+(y+3)^2=1引两条切线,切点分别为P,Q.（1）直线PQ的方程 （2）切点弦PQ的长

提问时间：2020-10-24

答案

圆心C（1,-3）到M（2,4）的距离=√[（1-2）^2+（-3-4）^2]= √（50）
在直角三角形MPC和MQC中,半径=1
lMPl=lMQl=√（50-1）=7
∴我们要找的是圆上到点M距离为7的点
∴设切点坐标为（x,y）列方程组：
1.（x-2）^2+（y-4）^2=7^2
2.(x-1)^2+(y+3)^2=1
2式减1式,得2x+14y+38=0,即x+7y+19=0,
x,y的解的轨迹是一条直线.将最后的方程解完最后将会得到两个解,即是两个切点,而这两个切点坐标都满足x+7y+19=0,所以x+7y+19=0就是所要求的直线.
下面求出直线x+7y+19=0被圆C:(x-1)^2+(y+3)^2=1截得的弦长即是PQ的长.
圆心C（1,-3）到直线x+7y+19=0的距离为：
d=|1-21+19|/√(1^2+7^2)=√2/10,
圆的半径R=1,
圆的半径、圆心到直线的距离、弦长一半构成直角三角形,
所以弦长一半为√[1^2-(√2/10)^2]= 7√2/10,
∴PQ的长为7√2/5.