题目

关于整除之类问题的数学题
已知一次函数y=-11x/13+k/13的图像为直线L
（1）求证:当k=119时,直线L不可能经过非负整数点.
注：若x大于等于0,y大于等于0,且x,y都是整数,则称（x,y）为非负整数点
（2）当k是大于119的任意自然数时,直线l必经过一非负整数点.

提问时间：2020-10-24

答案

1.
y=(k-11x)/13
变形
k=11x+13y
k=119时,易验证方程没有非负整数解
2.
先证明一个定理:
不定方程a1x+a2y=c,a1,a2,c都是正整数且(a1,a2)=1,那么当c≥(a1-1)(a2-1)时,方程恒有非负整数解
证明:
以[a]表示[a]的整数部分,{a}表示a的小数部分
设(x1,x2)是方程的一组非负整数特解,那么方程所有的解为:
x=x1+a2t
y=x2-a1t
由x≥0,y≥0,得:
-[x0/a2]≤t≤[x1/a1]
所以方程的非负整数解个数N=[x0/a2]+[x1/a1]+1
当c≥(a1-1)(a2-1)=a1a2-a1-a1+1时
1-1/a1-1/a2
-1
所以N=[x0/a2]+[x1/a1]+1>0
说明有方程非负解,证毕
回到题目来,11x+13y=k,(11,13)=1,当k≥(11-1)(13-1)=120时,方程恒有非负整数解
亦即,k>119时,方程恒有非负整数解,L恒过一非负整数点,得证.
例如:
120=11*5+13*5
121=11*11+13*0
122=11*4+13*6
等等