题目

已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=（e^x-1）（x-1）^k（k=1，2），则（　　）
A. 当k=1时，f（x）在x=1处取得极小值
B. 当k=1时，f（x）在x=1处取得极大值
C. 当k=2时，f（x）在x=1处取得极小值
D. 当k=2时，f（x）在x=1处取得极大值

提问时间：2020-10-24

答案

当k=1时，函数f（x）=（e^x-1）（x-1）．
求导函数可得f'（x）=e^x（x-1）+（e^x-1）=（xe^x-1），
f'（1）=e-1≠0，f'（2）=2e²-1≠0，
则f（x）在在x=1处与在x=2处均取不到极值，
当k=2时，函数f（x）=（e^x-1）（x-1）²．
求导函数可得f'（x）=e^x（x-1）²+2（e^x-1）（x-1）=（x-1）（xe^x+e^x-2），
∴当x=1，f'（x）=0，且当x＞1时，f'（x）＞0，当x₀＜x＜1时（x₀为极大值点），f'（x）＜0，故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
在（x₀，1）上是减函数，从而函数f（x）在x=1取得极小值．对照选项．
故选C．

通过对函数f（x）求导，根据选项知函数在x=1处有极值，验证f'（1）=0，再验证f（x）在x=1处取得极小值还是极大值即可得结论．

本题考点：函数在某点取得极值的条件．

考点点评：本题考查了函数的极值问题，考查学生的计算能力，正确理解极值是关键．