题目

已知圆C过点(1,3),且在x轴上的截距之和为2,在y轴上截距之积为-2,求圆的方程

提问时间：2020-10-24

答案

设圆C方程为x^2+y^+Dx+Ey+F=0 (D^2+E^2-4F>0)
令y=0,则：x^2+Dx+F=0
在x轴上的截距之和为2,说明方程x^2+Dx+F=0的两根之和为2,
即由韦达定理-D=2,得D=-2
令x=0得：y^2+Ey+F=0
在y轴上截距之积为-2,说明方程y^2+Ey+F=0的两根之积为-2
即由韦达定理得F=-2
所以方程为x^2+y^2-2x+Ey-2=0 (*)
又因为圆C过点(1,3),故将(1,3)代入(*)方程得：
1+9-2+3E-2=0,得到E=-2
所以最终圆C的方程是x^2+y^2-2x-2y-2=0,
也就是(x-1)^2+(y-1)^2=4