题目

一道概率题：如下：
在半径为R,中心在坐标原点的圆周上任取一点,求1）该点的直角坐标的分布密度；2）连接该点与（-R,0）所成的弦的长度的分布密度.

提问时间：2020-10-24

答案

1.令A={x^2+y^2=R^2}
因为改点在圆周上取,圆周周长是l=2*pi*R,又取中圆周上的点的概率相同
所以分布密度函数
f(x,y)=1/l,当x∈A,f(x,y)=0,当f(x,y)不属于A.
（解释一下：关键是圆周上每一点概率相同,又因为f的二重积分是等于1的,所以f是就是分布密度函数）
2.这个我也不知道怎么做,主要是不知道怎么变换回去
设（x,y)为A的元素,(x,y)与（-R,0）的倾角为a,a∈（-pi/2,pi/2）,
由于出现每个a的概率是相同的所以f的分布密度
f（a)=(2Rcosa)/pi,a∈（-pi/2,pi/2),f(a)=0,a属于其他
因为a=(y+R)/x,同时考虑到x^2+y^2=R^2,只要用jacobi行列式就可以进行a到x,y的变换了
即a=u(x),a=v(y)(不过要对a分正负讨论,因为一个x不是唯一对应一个a,同样y也是)下面讨论的方法就比较麻烦了,不想写了,我建议还是看看书吧~~主要就是两个变量变到另外两个变量的积分变换,数分上面肯定有的