题目

设A,B是n阶方阵,En是n阶单位矩阵,证明,若A B=En,且秩A 秩B=n,则A*A=A,B*B=B,且AB=0=BA
设A,B是n阶方阵,En是n阶单位矩阵,证明,若A+B=En,r(A)+r(B)=n,则A*A=A,B*B=B,AB=0=BA

提问时间：2020-10-24

答案

因为A+B=En,所以（A+B）*（A-B）=A^2-B^2=A-B,移项得A^2-A=B^2-B,把B=E-A代入到前式右端,A^2-A=（E-A）^2-（E-A）,则A*（A-E）=（E-A）*（-A）,则AB=BA,有一个公式你要知道那就是r(AB)=r(A)+r(B)-B的列数,这个证明比较复杂,但是你可以在一般的书上找到这个公式,同济大学出版社的线代教材上有,因为r(A)+r(B)=n,那么r(AB)=0,所以AB=BA=0,A*（E-A）=0,所以A*A=A,同理B*B=B.