题目

如图,已知AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD交DC的延长线于E,BF⊥CD交CD的延长线于F.
（1）求证;EC=FD
(2)如果把CD向上平移,使弦CD与AB相交,其余条件不变,结论是否成立?若成立,给出证明;若不成立,说明理由.

提问时间：2020-10-23

答案

（1）证明：作OM垂直于CD于M,
则 CM=DM（垂径定理：垂直于弦的直径平分弦）
因为 AE垂直于CD于E,BF垂直于CD于F,
所以 AE//OM//BF,
因为 AB是圆O的直径,AO=BO,
所以 EM=FM（平行线等分线段定理）,
所以 EM--CM=FM--DM,
即：EC=FD.
（2）如果把CD向上平移,使弦CD与AB相交,其余条件不变,结论EC=FD仍成立.
理由与（1）完全相同.