题目

初三数学题.二次函数
已知二次函数y = x^2 - ( m^2 + 4)x - 2m^2 - 12
1、证明：无论m取何值,二次函数一定与x轴有两个交点,并且有一个交点为（-2,0）
2、m为何值时,两交点之间距离为12
3、m为何值时,两交点之间距离最小
已知二次函数,y = x^2 - x + m 若抛物线与Y轴交与A 作AB平行X轴交抛物线于另一点B,当三角形AOB的面积等于4时,求解析式
快点 答得好 1题15分

提问时间：2020-10-23

答案

1、要求函数与x轴的交点就令y=0,解出x的值即可,本题中令y=0后可得：
x^2-(m^2+4)x-2m^2-12=0 ……（a）,要证明函数与x轴有两个交点,只需证明方程（a）有两个不同的解即可,[-(m^2+4)]^2+4(2m^2+12)=(m^2+4)^2+8m^2+48>0,显然方程（a）有两个不同的解,所以函数一定与x轴有两个交点.要证明（-2,0）是其中的一个交点,只需证明x=-2是方程（a）的一个解就可以了,将x=-2带入方程（a）中得：4-(m^2+4)*(-2)-2m^2-12=4+2m^2+8-2m^2-12=0,所以x=-2是方程（a）的一个解,因此点（-2,0）是函数与x轴的一个交点.
2、由1知函数与x轴的一个交点是（-2,0）,设另一个交点是（x1,0）,则x1也是方程（a）的一个解,根据韦达定理,x1-2=m^2+4……（b）,-2*x1=-2m^2-12……（c）,（b）和（c）化简后得出一个结果x1=m^2+6>0,所以两交点之间的距离是m^2+6-(-2)=m^2+8=12,所以m^2=4,即m=2或m=-2
3、由2知两个交点之间的距离是m^2+8,显然当m=0时距离最小,最小距离为8.
4、抛物线与y轴的交点x=0,此时y=m,即与y轴的交点为A（0,m）,过A作x轴的平行线与抛物线相交的另一点的纵坐标为m,另x^2-x+m=m,得x^2-x=0,解得x=1或x=0,由于x=0是抛物线与y轴的交点的横坐标,所以B的坐标为（1,m）,而三角形AOB的面积为(m*1)/2=4,解得m=8,所以抛物线的解析式为y=x^2-x+8