题目

已知函数f（x）=x²-2x，g（x）=ax+2（a＞0），若∀x₁∈[-1，2]，∃x₂∈[-1，2]，使得f（x₁）=g（x₂），则实数a的取值范围是（　　）
A. (0，

1

2

]
B. [

1

2

，3]
C. （0，3]
D. [3，+∞）

提问时间：2020-10-23

答案

∵函数f（x）=x²-2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=1对称
∴x₁∈[-1，2]时，f（x）的最小值为f（1）=-1，最大值为f（-1）=3，
可得f（x₁）值域为[-1，3]
又∵g（x）=ax+2（a＞0），x₂∈[-1，2]，
∴g（x）为单调增函数，g（x₂）值域为[g（-1），g（2）]
即g（x₂）∈[2-a，2a+2]
∵∀x₁∈[-1，2]，∃x₂∈[-1，2]，使得f（x₁）=g（x₂），
∴

2−a≤−1 2a+2≥3

⇒a≥3
故选D

根据二次函数的图象求出f（x）在[-1，2]时的值域为[-1，3]，再根据一次g（x）=ax+2（a＞0）为增函数，求出g（x₂）∈[2-a，2a+2]，由题意得f（x）值域是g（x）值域的子集，从而得到实数a的取值范围．

本题考点：函数的值域．

考点点评：本题着重考查了函数的值域，属于中档题．本题虽然是一道小题，但完全可以改成一道大题，处理的关键是对“任意”、“存在”的理解．