题目

例4、已知函数y=f（x）是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函数．又知y=f（x）在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5．
①证明：f（1）+f（4）=0；②求y=f（x），x∈[1，4]的解析式；③求y=f（x）在[4，9]上的解析式．

提问时间：2020-10-23

答案

①∵f（x）是以5为周期的周期函数
∴f（4）=f（4-5）=f（-1）
∵y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函数
∴f（1）=-f（-1）=-f（4）
∴f（1）+f（4）=0．
    ②当x∈[1，4]时，由题意可设f（x）=a（x-2）²-5（a＞0）
    由f（1）+f（4）=0得a（1-2）²-5+a（4-2）²-5=0
∴a=2
∴f（x）=2（x-2）²-5（1≤x≤4）
   ③∵y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函数
∴f（0）=0
∵y=f（x）在[0，1]上是一次函数
∴可设f（x）=kx（0≤x≤1），而f（1）=2（1-2）²-5=-3
∴k=-3
∴当0≤x≤1时，f（x）=-3x
     从而当-1≤x＜0时，f（x）=-f（-x）=-3x
     故-1≤x≤1时，f（x）=-3x
∴当4≤x≤6时，有-1≤x-5≤1
∴f（x）=f（x-5）=-3（x-5）=-3x+15
    当6＜x≤9时，1＜x-5≤4，
∴f（x）=f（x-5）=2[（x-5）-2]²-5=2（x-7）²-5
∴f(x)＝

−3x+15  4≤x≤6 2(x−7)2−5  6＜x≤9

①根据函数以5为周期的性质知：f（4）=f（4-5）=f（-1），在根据函数为奇函数知f（1）=-f（-1）=-f（4）即证
②根据二次函数的特点利用待定系数法设出二次函数的解析式f（x）=a（x-2）²-5（a＞0），将①的结论代入即可求解
③根据函数y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函数．知f（0）=0，又知y=f（x）在[0，1]上是一次函数，利用待定系数法设函数解析式为：f（x）=kx（-1≤x≤1）得到函数y=f（x）=-3x（-1≤x≤1），在利用函数的周期性即可求解

本题考点：二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法；奇函数；函数的周期性．

考点点评：本题考查了二次函数的性质，函数的周期性、奇偶性，函数解析式的求解及常用方法，属于基础题．