题目

已知函数f（x）=lnx-

a

x

；
（Ⅰ）当a＞0时，判断f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求f（x）在[1，e]上的最小值．

提问时间：2020-10-23

答案

（Ⅰ）由题意：f（x）的定义域为（0，+∞），且f′(x)＝

1

x

+

a

x2

＝

x+a

x2

．
∵a＞0，∴f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．（4分）
（Ⅱ）由（1）可知：f′(x)＝

x+a

x2

①若a≥-1，则x+a≥0，即f'（x）≥0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为增函数，f（x）_min=f（1）=-a（6分）
②若a≤-e，则x+a≤0，即f'（x）≤0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为减函数，f(x)min＝f(e)＝1−

a

e

（8分）
③若-e＜a＜-1，令f'（x）=0得x=-a，
当1＜x＜-a时，f'（x）＜0，∴f（x）在（1，-a）上为减函数，
当-a＜x＜e时，f'（x）＞0，∴f（x）在（-a，e）上为增函数，
f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1（11分）
综上可知：当a≥-1时，f（x）_min=-a；
当a≤-e时，f(x)min＝1−

a

e

；
当-e＜a＜-1时，f（x）_min=ln（-a）+1（12分）

（Ⅰ）由题意：f（x）的定义域为（0，+∞），对函数求导，分别解f（x）′＞0（＜0），从而求函数的增（减）区间，
（II）令f′（x）=0⇒x=-a，分①-a≤1②1＜-a＜e③-a≥e三种情况讨论函数在已知区间上的单调性，确定函数的最小值．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：（1）函数的单调增（减）区间的求解是令f′（x）＞0（＜0）
（2）求解函数在求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b）比较而得到的．但是含有参数时，要注意对参数的讨论，以确定函数在区间上的单调性及取得最值的位置．