题目

1、设F1、F2分别为椭圆C：x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）的左右焦点,过F2的直线L与椭圆相交于A、B两点,直线L的倾斜角为60°,F1到直线L的距离为2√3.（1）求椭圆C的焦距 （2）若向量AF2=2倍向量F2B,求椭圆C的方程
2、设椭圆E：x²/a²+y²/（1-a²）=1的焦点在x轴上 （1）若椭圆E的焦距为1,求E的方程 （2）设F1、F2分别是E的左右焦点,P为E上的第一象限内的点,直线F2P交y轴于点Q,并且F1P⊥F1Q,证明：当a变化时,点P在某定直线上
3、椭圆C：x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）的左右焦点分别是F1、F2,离心率为√3/2,过F1且⊥于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1 （1）求椭圆C的方程 （2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任意一点,连接PF1,PF2,设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m,0）,求m的取值范围

提问时间：2020-10-23

答案

第一题：

第二题：

第三题：
来自网络,仅供参考,
因为 PM 是∠F1PF2 的角平分线,所以 F1M/MF2=PF1/PF2,M 一定在 F1 与 F2 中间；
-c<m<c；F1M=m+c,MF2=c-m；
因为 e²=c²/a²=(√3/2)²=3/4,所以 c=√3a/2,b²=a²-c²=a²(1-e²)=a²/4；

设 P 点坐标为(x,y),则 PF1=√[(x+c)²+y²]=√[(x+c)²+b²-b²x²/a²]=√(3x²/4 +2cx+a²)；
类似地 PF2=√[3x²/4 -2cx+a²]；
∴ (m+c)/(c-m)=√(3x²/4 +2cx+a²)/√(3x²/4 -2cx+a²)=√[(3x²/4 +2cx+a²)/(3x²/4 -2cx+a²)]；
若 x=0,则 m=0；
若 0<x<a（m>0）,则 (3x²/4 +2cx+a²)/(3x²/4 -2cx+a²)=1 +[4c/(3x/4 -2c+a²/x)]<1 +[4c/(3a/4 -2c+a)]=1+[(8√3)/(7-4√3)]=(7+4√3)/(7-4√3)=(7+4√3)²；（当 x=2√[(3/4)*a²]=√3a 时,上式有极大值,但按题意 x<a,上式只能在 x=a 处取得极大值）；
∴ (c+m)/(c-m)<7+4√3,解得 m<c[(6+4√3)/(8+4√3)]=√3c/2=3a/4；
类似地,若 -a<x<0（m<0）,则 m>-√3c/2=-3a/4；
所以 -√3c/2 <m<√3c/2；