题目

已知方向向量为e=(1,√3)的直线l过A(0,-2√3)和椭圆c：X^/A^+Y^/B^=1(a＞b＞0)的焦点 且椭圆c的中心关于直线l的对称点在椭圆c的右准线上
①求椭圆的方程
②是否存在过点E（－2,0）的直线m交椭圆C于点M、N,满足 ,
向量OM×向量ON=(4√6)/3cot∠MON（O为原点）.若存在,求直线m的方程；若不存在,请说明理由.

提问时间：2020-10-23

答案

①直线l为:y+2√3=√3x,即:y=√3x-2√3
它只能过椭圆的右焦点(c,0)代入:c=2
椭圆的右准线为x=a^2/c,设椭圆c的中心关于直线l的对称点为P
P的横坐标为 a^2/c,直线OP:y=-√3/3x,于是P为(a^2/c,-√3a^2/(3c))
OP的中点(a^2/2c,-√3a^2/(6c))在l上:-√3a^2/(6c)=√3a^2/c-2√3
于是:a^2=6,b^2=2
椭圆的方程为x^2/6+y^2/3=1;
②设∠MON=θ,向量OM·向量ON=│OM││ON│cosθ=4√6/3cotθ
│OM││ON│sinθ=4√6/3=2S△MON
设直线MN为:ky=x+2,原点到MN的距离:d=2/√(1+k^2)
把直线代入椭圆:(3+k^2)y^2-4ky-2=0
y1+y2=4k/(3+k^2),y1y2=2/(3+k^2)
│MN│=√[(1+k^2)(y1-y2)^2=√(1+k^2)*√[(y1+y2)^2-4y1y2]
4√6/3=2S△MON=d*│MN│=√[(y1+y2)^2-4y1y2]
32/3=16k^2/(3+k^2)^2-8/(3+k^2),这个方程无实根,所以直线m不存在
备注:向量有两种乘法形式一种是点积(·)一种是叉积(×),点积是标量(数量),叉积是向量,题目中应该是点积.