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题目
已知函数f(x)=(x3-6x2+3x+t)ex,t∈R.
(1)若函数y=f(x)依次在x=a,x=b,x=c(a<b<c)处取到极值.
①求t的取值范围;
②若a+c=2b2,求t的值.
(2)若存在实数t∈[0,2],使对任意的x∈[1,m],不等式f(x)≤x恒成立.求正整数m的最大值.

提问时间:2020-10-23

答案
(1)①f'(x)=(3x2-12x+3)ex+(x3-6x2+3x+t)ex=(x3-3x2-9x+t+3)ex
∵f(x)有3个极值点,
∴x3-3x2-9x+t+3=0有3个根a,b,c.
令g(x)=x3-3x2-9x+t+3,g'(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3),
g(x)在(-∞,-1),(3,+∞)上递增,(-1,3)上递减.
∵g(x)有3个零点∴
g(-1)>0
g(3)<0
∴-8<t<24.
②∵a,b,c是f(x)的三个极值点,
∴x3-3x2-9x+t+3=(x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ac)x-abc
a+b+c=3
ab+ac+bc=-9
t+3=-abc

∴b=1或-
3
2
(舍∵b∈(-1,3))
a=1-2
3
b=1
c=1+2
3
∴t=8
(2)不等式f(x)≤x,即(x3-6x2+3x+t)ex≤x,即t≤xe-x-x3+6x2-3x.
转化为存在实数t∈[0,2],使对任意的x∈[1,m],
不等式t≤xe-x-x3+6x2-3x恒成立.
即不等式0≤xe-x-x3+6x2-3x在x∈[1,m]上恒成立.
即不等式0≤e-x-x2+6x-3在x∈[1,m]上恒成立.
设φ(x)=e-x-x2+6x-3,则φ'(x)=-e-x-2x+6.
设r(x)=φ'(x)=-e-x-2x+6,则r'(x)=e-x-2,因为1≤x≤m,有r'(x)<0.
故r(x)在区间[1,m]上是减函数.
又r(1)=4-e-1>0,r(2)=2-e-2>0,r(3)=-e-3<0
故存在x0∈(2,3),使得r(x0)=φ'(x0)=0.
当1≤x<x0时,有φ'(x)>0,当x>x0时,有φ'(x)<0.
从而y=φ(x)在区间[1,x0]上递增,在区间[x0,+∞)上递减.
又φ(1)=e-1+4>0,φ(2)=e-2+5>0,φ(3)=e-3+6>0,φ(4)=e-4+5>0,φ(5)=e-5+2>0,φ(6)=e-6-3<0.
所以当1≤x≤5时,恒有φ(x)>0;
当x≥6时,恒有φ(x)<0;
故使命题成立的正整数m的最大值为5.
(1)①根据极值点是导函数的根,据方程的根是相应函数的零点,结合函数的单调性写出满足的不等式解出t的范围,②将三个极值点代入导函数得到方程,左右两边各项的对应系数相等,列出方程组,解出t值.
(2)先将存在实数t∈[0,2],使不等式f(x)≤x恒成立转化为将t看成自变量,f(x)的最小值)≤x;再构造函数,通过导数求函数的单调性,求函数的最值,求出m的范围.

利用导数研究函数的极值;不等式的综合.

本题考查利用导数求函数的极值、极值点是导函数的根、解决不等式恒成立常用的方法是构造函数利用导数求函数的最值.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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