题目

如图,已知抛物线的顶点坐标为M（1,4）,且经过点N（2,3）,与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）,与y轴
如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；
（2）若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；
（3）点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

提问时间：2020-10-23

答案

考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）根据题意中,抛物线的顶点坐标与N的坐标,可得抛物线的解析式,进而可得点A、B、C的坐标；
（2）分别求出过DM的直线,与过点AN的直线方程,可得DM与AN平行,且易得DM与AN相等；故四边形CDAN是平行四边形；
（3）首先假设存在,根据题意,题易得：△MDE为等腰直角三角形,进而可求得P的坐标,故存在P．由抛物线的顶点是M（1,4）,
设解析式为y=a（x-1）2+4（a＜0）
又抛物线经过点N（2,3）,
所以3=a（2-1）2+4,
解得a=-1
所以所求抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4=-x2+2x+3
令y=0,得-x2+2x+3=0,
解得：x1=-1,x2=3,
得A（-1,0）B（3,0）；
令x=0,得y=3,
所以C（0,3）．
（2）证明：直线y=kx+t经过C、M两点,
所以t=3k+t=4
即k=1,t=3,
直线解析式为y=x+3．
令y=0,得x=-3,
故D（-3,0）,即OD=3,又OC=3,
∴在直角三角形COD中,根据勾股定理得：CD=OD2+OC2=32．
连接AN,过N做x轴的垂线,垂足为F．
设过A、N两点的直线的解析式为y=mx+n,
则-m+n=02m+n=3,
解得m=1,n=1
所以过A、N两点的直线的解析式为y=x+1
所以DC∥AN．在Rt△ANF中,AF=3,NF=3,
所以AN=32,
所以DC=AN．
因此四边形CDAN是平行四边形．
假设在x轴上方存在这样的P点,使以P为圆心的圆经过A、B两点,并且与直线CD相切,
设P（1,u）其中u＞0,
则PA是圆的半径且PA2=u2+22过P做直线CD的垂线,垂足为Q,则PQ=PA时以P为圆心的圆与直线CD相切．
由第（2）小题易得：△MDE为等腰直角三角形,故△PQM也是等腰直角三角形,
由P（1,u）得PE=u,PM=|4-u|,PQ=PM2=|4-u|2
由PQ2=PA2得方程：(4-u)22=u2+22,
解得u=-4±26,舍去负值u=-4-26,符合题意的u=-4+26,
所以,满足题意的点P存在,其坐标为（1,-4+26）．点评：本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．（你看看是不是）如果是求采纳