题目

若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（

x

y

）=f（x）-f（y）．
（1）求f（1）的值；
（2）解不等式：f（x-1）＜0；
（3）若f（2）=1，解不等式f（x+3）-f（

1

x

）＜2．

提问时间：2020-10-22

答案

（1）在等式中令x=y≠0，则f（1）=0；
（2）∵f（1）=0，
∴f（x-1）＜0等价于f（x-1）＜f（1）
又f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴

x−1＜1 x−1＞0

，解得x∈（1，2）
（3）由题意，f（4）=f（2）+f（2）=2，故原不等式为：f(x+3)−f(

1

x

)＜f(4)
即f[x（x+3）]＜f（4）
又f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
故原不等式等价于：

x+3＞0 1 x ＞0 x(x+3)＜4

，解得0＜x＜1，即x∈（0，1）．

（1）利用赋值法，即可得到结论；
（2）f（x-1）＜0等价于f（x-1）＜f（1），利用f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，可得结论；
（3）由题意，f（4）=f（2）+f（2）=2，故原不等式f[x（x+3）]＜f（4），由此可得结论．

本题考点：抽象函数及其应用．

考点点评：本题考查函数的单调性，考查解不等式，考查学生的计算能力，属于基础题．