题目

定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-2011且当x＞0时，有f（x）＞2011，设M、N分别为f（x）在[-2012，2012]的最大值与最小值，则M+N的值为（　　）
A. 4022
B. 4024
C. 2011
D. 2012

提问时间：2020-10-22

答案

根据题意，f（x+y）=f（x）+f（y）-2011⇒f（x+y）-f（y）=f（x）-2011，
当x＞0时，有（x+y）-y＞0，此时f（x+y）-f（y）=f（x）-2011＞0，
则f（x）在[-2011，2011]上为增函数，
故M=f（2011），N=f（-2011）；
对于f（x+y）=f（x）+f（y）-2011，
令x=y=0可得，f（0）=2f（0）-2011，即f（0）=2011，
再令x=2011，y=-2011可得，f（0）=f（2011）+f（-2011）-2011，
即f（2011）+f（-2011）=f（0）+2011=4022，
又由M=f（2011），N=f（-2011），
则M+N=4022，
故选A．