题目

抽屉原理的题目
1.证明：在任意5个整数中,一定能取出3个数,使它们的和能被3整除.
2.某校派出学生204人上山植树15301棵,其中最少一人植树50棵,最多一人植树100棵,证明至少有5人植树的棵树相同.

提问时间：2020-10-22

答案

1.证明：
任一整数被3除的余数只有3种可能：或者整除,则余数为0,或者不能整除,则余数为1或2.所以,我们构造3个抽屉,分别放置形如3m、3m+1、3m+2的数,其中m为整数,这三类数也可称为余0类,余1类,余2类.
按余0类,余1类,余2类构造三个盒子,由抽屉原理,必有一盒子放有[5/3]+1=2个关于3的余数相同的数,则另外3个盒中放的3个数,或者同属一类,这时结论显然成立；若2个属一类,另1个属另一类,这时从三类不同余数的盒子,各抽一个数,则此三数和必为3的倍数.
命题得证.
2. 证明：
按植树棵数50,51,...,100构造51个盒子,由抽屉原理,必至少一个盒子里有4个学生.
而如果恰好每个盒子里4个学生,则总植树棵数为
4*(50+51+...+100)=4*150*51/2=4*3825=15300