题目

怎样证明对角线垂直的梯形,两腰与对角线形成的三角形面积相等?我作图出来知道是相等,就是不知如何证明.

提问时间：2020-10-22

答案

请翻阅《走进华师一》2004年招生试题
AD//BC,AB垂直于AD,AC交BD于M
取内切圆圆心o,令其与BC切于F,AD于E,连OC,OD
则OD,CO分别为角CDA,角BCD的角平分线
则角COD=90
角COF+DOE=90 DOE+EOD=90
COF=ODE 又CFO=OED=90
三角形COF相似于ODE
CF*DE=R*R
作MN//AD交AB于N
则MN/AD=BN/AB=BN/2R
MN/BC=AN/AB=AN/2R
则MN/AD+MN/BC=1
1/MN=1/AD+1/BC=(2R+DE+CF)/(R+DE)/(R+CF)
(R+DE)*(R+CF)=R*R+R*(DE+CF)+R*R==(2R+DE+CF)*R
则MN=R
S△ABM=S△CDM=R²
证毕