题目

2.如图2,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别是S1、S2、S3,那三个半圆的面积关系?证明
1.若分别以直角三角形ABC的三边为边向外作三个正三角形如图3,其面积分别用S1、S2、S3表示,试确定S1、S2、S3之间的关系并证明.

提问时间：2020-10-22

答案

虽然无图,不妨假设三角形ABC中,三个角A、B、C所对的边依次为a、b、c.其中a、b为两直角边,c为斜边.且a、b、c所在图形面积分别为S1,S2,S3.
1.对于半圆的情况,S1=1/2π（a/2）^2
S2=1/2π（b/2）^2
S3=1/2π（c/2）^2
所以S1:S2:S3=a^2:b^2:c^2
或者,由于三角形ABC为直角三角形,所以a^2+ b^2= c^2,
于是S1+S2=S3
2.对于等边三角形,S1=1/2*a*acos60°=1/2cos60°*a^2（用任意三角形面积公式,或者作三角形的高为辅助线来计算面积都可以）
S2=1/2cos60°*b^2
S3=1/2cos60°*c^2
于是也有S1:S2:S3=a^2:b^2:c^2
S1+S2=S3
所以,S1、S2、S3之间的关系就是S1:S2:S3=a^2:b^2:c^2或者S1+S2=S3
（根据具体情况来看选择哪个结果,估计一般是后者的概率比较大）