题目

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，

（1）证明：BC₁⊥面A₁B₁CD；
（2）求直线A₁B和平面A₁B₁CD所成的角．

提问时间：2020-10-22

答案

（1）连接B₁C交BC₁于点O，连接A₁O．
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中
因为A₁B₁⊥平面BCC₁B₁．
所以A₁B₁⊥BC₁．
又∵BC₁⊥B₁C，又BC₁∩B₁C=O
∴BC₁⊥平面A₁B₁CD 
（2）因为BC₁⊥平面A₁B₁CD，所以A₁O为斜线A₁B在平面A₁B₁CD内的射影，所以∠BA₁O为A₁B与平面A₁B₁CD所成的角．设正方体的棱长为a
在RT△A₁BO中，A₁B=

2

a，BO=

2

2

a，所以BO=

1

2

A₁B，∠BA₁O=30°，
即直线A₁B和平面A₁B₁CD所成的角为30°．

（1）要证BC₁⊥面A₁B₁CD；应通过证明A₁B₁⊥BC₁．BC₁⊥B₁C两个关系来实现，两关系容易证明．
（2）因为BC₁⊥平面A₁B₁CD，所以A₁O为斜线A₁B在平面A₁B₁CD内的射影，所以∠BA₁O为A₁B与平面A₁B₁CD所成的角．在RT△A₁BO中求解即可．

本题考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．

考点点评：本题考查空间直线与平面垂直关系的判断，线面角大小求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．