题目

请利用拉格朗日乘数法求建一个容积等于4的长方形无盖水池,应该如何选择水池尺寸

提问时间：2020-10-22

答案

设长宽高分别问x,y,z 体积V=xyz 设造价为L=2(xy+yz+xz),得拉格朗日函数
L(x,y,z,p)=2(xy+yz+xz)+p(xyz-V) 对L求偏导并令他们都等于0
2(y+z)+pyz=0
2(x+z)+pxz=0
2(x+y)+pxy=0
xyz-V=0
解前3个方程有 (x-y)(pz+2)=0 (x-z)(py+2)=0 (y-z)(px+2)=0 p=-1/15只有x=y=z 时才能取到极值.
由此可见容积应为4立方米
x=y=z=4的立方根米