题目

一个数列求和问题 1/(1*1)+1/(2*2)+...+1/(n*n)=?当n趋于无穷大时

提问时间：2020-10-22

答案

1/(1*1)+1/(2*2)+...+1/(n*n)+...=π^2/6.
推导过程要用高等数学.方法之一是利用f(x)=x(0≤x≤π)的余弦级数：
f(x)=π/2-(4/π)*(cosx+cos3x/3^2+cos5x/5^2+...)(-π≤x≤π).
令x=0,得1+1/3^2+1/5^2+...=π^2/8,
1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+...
=(1+1/3^2+...)+(1/2^2+1/4^2+...)
=π^2/8+(1/4)*(1+1/2^2+1/3^2+...)
1+1/2^2+1/3^2+...=π^2/6.