题目

已知向量P=（-cos2X,a）,q=(a,2-根号3sin2X)函数f（x）=p*q-5(a∈Ra≠0)
(1)求函数f（x）（x∈R）的值域
（2）a=2时,若对任意的t∈R,函数y=-1,X∈（t,t+b]的图像与直线y=-1有且仅有两个不同的交点,试确定b的值,并求函数y=f（x）在[0,b]上单调递增区间.
主要解决一下第二问

提问时间：2020-10-22

答案

（1）f（x）==p*q-5=-acos2x-√3asin2x+2a-5
=-2asin（2x+π/6）+2a-5
最大值为|2a|+2a-5
最小值为 -|2a|+2a-5
值域为【 -|2a|+2a-5,|2a|+2a-5】
（2）a=2时
值域为【 -5,3】
f（x）= -4sin（2x+π/6）-1=-1
sin（2x+π/6）=0
2x+π/6=kπ
x=kπ/2+π/12
每两个交点间的最短距离为π/2
因为t∈R,（t,t+b]的图像与直线y=-1有且仅有两个不同的交点
所以求最长距离
可得最长距离b=π
y=f（x）= -4sin（2x+π/6）-1
x∈[0,π]
-4sin（2x+π/6）的递增区间
为2x+π/6∈[π/2+2kπ,3π/2+2kπ]
x∈[π/6+kπ,2π/3+kπ]在区间[0,π]
符合条件的为[π/6,2π/3]
所以在[0,b]上单调递增区间为[π/6,2π/3]