题目

已知f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），如果对任意的x∈[

1

3

，2]，都有|f（x）|≤1成立，试求a的取值范围．

提问时间：2020-10-22

答案

依题意，当0＜a＜1时，f（x）=log_ax在[

1

3

，2]上单调递减，
又loga

1

3

＞0，log_a2＜0，|f（x）|≤1，
∴

loga 1 3 ≤1 −loga2≤1

，解得0＜a≤

1

3

；
当a＞1时，同理可得

−loga 1 3 ≤1 loga2≤1

，解得a≥3．
综上所述，a的取值范围为（0，

1

3

]∪[3，+∞）．

当0＜a＜1时，f（x）=log_ax在[

1

3

，2]上单调递减；当a＞1时，f（x）=log_ax在[

1

3

，2]上单调递增；结合题意|f（x）|≤1即可求得a的取值范围．

本题考点：绝对值不等式的解法．

考点点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想，突出对数函数单调性的考查应用，属于中档题．