题目

已知函数f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1（k＞0）的单调递减区间是（0，4），则k的值是 ___ ．

提问时间：2020-10-21

答案

对函数求导数，得f'（x）=3kx²+6（k-1）x
∵函数的单调递减区间是（0，4），
∴f'（x）＜0的解集是（0，4），
∵k＞0，
∴3kx²+6（k-1）x＜0等价于3kx（x-4）＜0，
得6（k-1）=-12k，解之得k=

1

3

故答案为：

1

3

将三次多项式函数求导数，得f'（x）=3kx2+6（k-1）x，结合题意得f'（x）＜0的解集是（0，4），根据一元二次不等式解法的结论，比较系数即可得到实数k的值．

本题考点：利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题给出三次多项式函数的单调减区间，求参数k的值，着重考查了利用导数研究函数的单调性和一元二次不等式解法等知识，属于基础题．