题目

已知等差数列an的公差不为零,且a3=5,a1,a2,a5成等比数列.数列bn满足b1+2b2+4
已知等差数列an的公差不为零,且a3=5,a1,a2,a5成等比数列.
求数列an的通项公式
数列bn满足b1+2b2+4b3+.2^n-1bn=an,求数列bn的通项公式

提问时间：2020-10-21

答案

设公差为d
a2^2=a1a5
(a3-d)^2=(a3-2d)(a3+2d)
a3=5代入,整理得
d^2-2d=0
d(d-2)=0
d=0(与已知矛盾,舍去)或d=2
an=a1+(n-1)d=a3+(n-3)d=5+2(n-3)=2n-1
数列{an}的通项公式为an=2n-1
n=1时,b1=a1=a3-2d=5-4=1
n≥2时,
b1+2b2+4b3+...+2^(n-1)bn=an=2n-1 (1)
b1+2b2+4b3+...+2^(n-2)b(n-1)=a(n-1)=2(n-1)-1=2n-3 (2)
(1)-(2)
2^(n-1)bn=(2n-1)-(2n-3)=2
bn=1/2^(n-2)
n=1时,b1=1/2^(1-2)=2≠1
数列{bn}的通项公式为
bn=1 n=1
1/2^(n-2) n≥2