题目

求泊松定理的证明过程,急急急急急急啊,谢谢

提问时间：2020-10-21

答案

现令 P(k,T) 表示在时间区间 T 中发生 k 次事件的机率（注意 T 表示时间区间的长度,而不是绝对时间）,由⑴⑵知 $P（1,Delta t)=lambdaDelta t$,且 $P(k,Delta t)=0$,$kgeq 2$.现将 T 分割成 N 个短时间区段 （即 $T=NDelta t$）,利用 ⑶各时间区段出现之事件是独立的条件,可知
egin{eqnarray*} P(k,T)& approx & C^N_k (lambda Delta t)^k（1-lambdaDelta ......cdot frac{（1-frac{lambda T})^N}{（1-frac{lambda T})^k} end{eqnarray*}
固定 k,当 $N ightarrowinfty$ 时
eginP(k,T)=frac{(lambda T)^k}{k!}e^{-(lambda T)} quad (mbox{......{MbQchar 41}} （1+frac{alpha})^N ightarrow e^{alpha }) end
由上可知 Poisson 分配是二项分配 B(N,p,q) 的一种极限,其中 Np= 常数 $lambda T$,再让 $N ightarrowinfty$.另外,我们通常将 $lambda T$ 记为 m,表示在时间区间 T 中,平均的发生次数