题目

泊松定理的问题
1、已知某公司生产的螺丝钉以0.001的概率为次品,并设各个螺丝钉是否为次品是相互独立的.这家公司以100个螺丝钉包成一袋出售,并保证如果发现某包内多于一个次品,则可退款.问卖出的各个包螺丝钉中,被退回公司的占多大比例?
2、某商店出售某种商品,据历史记录分析,月销售量满足泊松分布,参数为5,问在月初进货时要库存多少此种商品,才能以0.999的概率满足顾客的需要?
PS：需要详细的解答过程

提问时间：2020-10-21

答案

1. 设X为包装中的次品数, 满足二项分布. P(X=k) = C(100,k)p^k (1-p)^(100-k), 其中p=0.001
P(退款)= 1 - P(X=0) - P(X=1) = 1 - (1-p)^100 - 100p(1-p)^99 = 0.0046=0.46%
有於100为大数, 故也可以用二项分布的泊松近似:
P(X=k) 约等於 exp(-100p) * (100p)^k / k!
P(X=0)=exp(-0.1)=0.9048
P(X=1)=exp(-0.1)*(0.1)=0.0905
P(退款)约等於 1-0.9048-0.0905 约等於 0.47%
2. 泊松分布为 P(月销售量=k) = exp(-5) * 5^k / k!
设库存为K, 则要求P(月销售量=0.999
即 exp(-5) * (5^0/0! + 5^1/1! + ... + 5^K/K!) >=0.999
计算得到当K=12时左边等於0.997981, 不足, K=13时等於0.999302, 有余
因此进货时库存量>=13即可.