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题目
已知长方形ABCD中,AB=10cm,BC=20cm,现有两只蚂蚁P和Q同时分别从A、B出发,沿AB-BC-CD-DA方向前进,蚂蚁P每秒钟走1cm,蚂蚁Q每秒钟走2cm.问:

(1)蚂蚁出发后△PBQ第一次是等腰三角形需要爬行几秒?
(2)P、Q两只蚂蚁最快爬行几秒后,直线PQ与边AB平行?
(3)若蚂蚁继续不停地爬行下去,直线PQ还可能与边AB平行吗?若可能,请求出PQ与边AB平行时间规律;若不可能,请说明为什么?

提问时间:2020-10-21

答案
(1)设蚂蚁出发后△PBQ第一次是等腰三角形需要爬行t秒,
∵四边形ABCD是长方形,
∴∠B=90°,
∴BP=BQ,
∵AP=tcm,BQ=2tcm,则PB=AB-AP=10-t(cm),
∴10-t=2t,
解得:t=
10
3

∴蚂蚁出发后△PBQ第一次是等腰三角形需要爬行
10
3
秒;
(2)设P、Q两只蚂蚁最快爬行x秒后,直线PQ∥AB,
∵AD∥BC,
∴四边形ABPQ是平行四边形,
∴AQ=BP,
∴x-10=50-2x,
解得:x=20,
∴P、Q两只蚂蚁最快爬行20秒后,直线PQ∥AB;
(3)∵经过20秒P、Q两只蚂蚁分别在BC,AD的中点;
经过30秒P、Q两只蚂蚁分别在C点B点;
经过40秒P、Q两只蚂蚁分别在D点C点;
经过50秒P、Q两只蚂蚁同在AD中点;
经过60秒两只蚂蚁回到原点的位置.
∴在出发20秒后直线PQ第一次与AB平行,以后每隔60秒形成一次平行.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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