题目

将函数f（x）展开为x的幂级数并求其收敛域
将f（x）=1(x²-3x+2）.括号里是x的平方 展开为x的幂级数,并求其收敛域.
展开幂级数我大概会做.收敛域不会求.希望要一个完整的详细过程.

提问时间：2020-10-21

答案

答：
建议翻翻高数课本,再将这几节看一遍.
f(x)=1/(x-2)-1/(x-1)
=1/(1-x)-1/(2-x)
因为1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+...+x^n+...=∑(n从0到∞)x^n
接下来讲收敛域.x^n的系数是1,所以limn-∞>|a(n+1)/a(n)|=1
所以收敛半径R=1,接下来讨论在-1,1两点时的收敛性.
x=-1时,1,-1,1,-1...发散
x=1时,1,1,1,1发散.
所以收敛域是(1,1).
收敛半径定理如下：若|a(n+1)/a(n)|=ρ,则收敛半径是R=1/ρ
特别地：若ρ=0,则R=+∞；若ρ=+∞,则R=0.
回到本题,同理：-1/(2-x)=-1/2*(1/(1-x/2))
=-1/2(1+x/2+x^2/4+x^3/8+...+x^n/2^n+...) = -1/2∑(n从0到+∞)x^n/2^n =∑(n从0到+∞) -x^n/2^(n+1) （-2,2）
所以
f(x)=1/(x²-3x+2)=∑(n从0到+∞) (1-1/2^(n+1))x^n (-1,1)
一定要再好好看看课本,看例题.希望对你有所帮助启发.