题目

y等于a乘x的二次方[a<0],焦点F,过F作直线L交抛物线于A.B,求1/AF+1/BF

提问时间：2020-10-21

答案

y=ax^2,x^2=2*(1/2a)*y,即p=1/2a
所以F(0,p/2)即F(0,1/4a),准线l:y=-p/2即y=-1/4a
(1)直线L斜率不存在.
易得只有一交点,不合题意
(2)设直线L:y=kx+1/4a (过焦点)
解方程组(y=kx+1/4a ,y=x^2)得x1=(k+sqrt(k^2+1))/2a ,x2=(k-sqrt(k^2+1))/2a (sqrt为开方)
则y1=(2k^2+2ksqrt(k^2+1)+1)/4a ,y2=(2k^2-2ksqrt(k^2+1)+1)/4a
不妨设A(x1,y1) ,B(x2,y2)
由"抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离"得
AF=-1/4a-y1=-(k^2+ksqrt(k^2+1)+1)/2a
BF=-1/4a-y2=-(k^2-ksqrt(k^2+1)+1)/2a
所以1/AF+1/BF=-(2a/(k^2+1+ksqrt(k^2+1)) + 2a/(k^2+1-ksqrt(k^2+1)))
=-2*2a*(k^2+1)/(k^2+1) (通分即可)
=-4a
综上所述,1/AF+1/BF=-4a
(注:多给点分啊)