题目

空间四边形ABCD中,P、Q、R分别是AB,AD,CD的中点,平面PQR交BC于点S,求证：四边形PQRS为平行四边形

提问时间：2020-10-21

答案

如图,P,Q,R分别是三棱椎A-BCD的棱AC,BC,BD的中点,过三点P,Q,R的平面交AD于S．求证：四边形PQRS是平行四边形．
考点：直线与平面平行的判定,分析法和综合法,直线与平面平行的性质
专题：证明题,空间位置关系与距离
分析：证明AB∥平面PQRS,可得AB∥RS,再利用三角形中位线的性质,可得RS∥PQ,且RS=PQ,从而可得结论．
证明：∵P为AC的中点,Q为BC的中点,
∴PQ∥AB,且PQ=
1
2
AB．…（1分）
∵PQ⊂平面PQRS,AB⊄平面PQRS,
∴AB∥平面PQRS．…（3分）
∵平面PQRS∩平面ABD=RS,AB⊂平面ABD,
∴AB∥RS．…（5分）
∵R为BD中点,
∴S为AD中点．…（6分）
∴RS∥AB,且RS=
1
2
AB．
∴RS∥PQ,且RS=PQ．
∴PQRS为平行四边形．…（8分）
点评：本题考查线面平行的判定与性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题．