题目

设A_n为数列{a_n}的前n项和，且有A_n=

3

2

提问时间：2020-10-21

答案

（1）∵A_n=

3

2

（a_n-1）（n∈N^*），
∴a₁=3．
当n≥2时，a_n=A_n=

3

2

（a_n-1）-

3

2

（a_n-1-1），
∴a_n=3a_n-1（n≥2）．
∴数列{a_n}是以3首项，公比为3的等比数列，
∴a_n=3•3^n-1=3ⁿ（n∈N^*）；
（2）由（Ⅰ）知a₁、a₂显然不是数列{b_n}中的项．
∵a₃=27=4×6+3，
∴d₁=27是数列{b_n}中的第6项，
设a_k=3^k是数列{b_n}中的第m项，则3^k=4m+3（k、m∈N^*）．
∵a_k+1=3^k+1=3×3^k=3（4m+3）=4（3m+2）+1，
∴a_k+1不是数列{b_n}中的项．
∵a_k+2=3^k+2=9×3^k=9（4m+3）=4（9m+6）+3，
∴a_k+2是数列{b_n}中的项．
∴d₁=a₃，d₂=a₅，d₃=a₇，…，d_n=a_2n+1，
∴数列{d_n}的通项公式是d_n=3²ⁿ⁺¹（n∈N^*）．