题目

已知函数f（x）=ln（1+x）-x+

k

2

x²（k≥0）．
（Ⅰ）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

提问时间：2020-10-21

答案

（I）当K=2时，f(x)＝ln(1+x)−x+x2，f′(x)＝11+x−1+2x由于f(1)＝ln(2)，f′(1)＝32所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y−ln2＝32(x−1)．即3x-2y+2ln2-3=0（II）f'（x）=11+x-1+kx（x＞-1）当k=0时...

（I）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，然后求出切点坐标，再用点斜式写出直线方程，最后化简成一般式即可；
（II）先求出导函数f'（x），讨论k=0，0＜k＜1，k=1，k＞1四种情形，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论的数学思想，属于基础题．