题目
证明函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上是增函数.
提问时间:2020-10-21
答案
法一:定义法
任取(-∞,+∞)两个实数x1,x2,且x1<x2,
∴x1-x2<0,x12+x1x2-x22>0
∴f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2-x22)<0
∴f(x1)<f(x2)
∴函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上是增函数.
法二:导数法
∵f(x)=x3,
∴f′(x)=3x2,
∴在(-∞,+∞)上f′(x)≥0恒成立
∴函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上是增函数.
任取(-∞,+∞)两个实数x1,x2,且x1<x2,
∴x1-x2<0,x12+x1x2-x22>0
∴f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2-x22)<0
∴f(x1)<f(x2)
∴函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上是增函数.
法二:导数法
∵f(x)=x3,
∴f′(x)=3x2,
∴在(-∞,+∞)上f′(x)≥0恒成立
∴函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上是增函数.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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