题目
若函数f（x）=ax-x-a（a＞0，a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A. （1，+∞）
B. [2，+∞）
C. （0，1）
D. （1，2）
A. （1，+∞）
B. [2，+∞）
C. （0，1）
D. （1，2）
提问时间：2020-10-21
答案
设函数y=ax（a＞0，且a≠1）和函数y=x+a，
则函数f（x）=ax-x-a（a＞0且a≠1）有两个零点，就是函数y=ax（a＞0，且a≠1）与函数y=x+a的图象有两个交点，
由图象可知当0＜a＜1时两函数只有一个交点，不符合条件．
当a＞1时，因为函数y=ax（a＞1）的图象过点（0，1），而直线y=x+a所过的点（0，a），
此点一定在点（0，1）的上方，∴一定有两个交点．
∴实数a的取值范围是（1，+∞）．
故选A．
则函数f（x）=ax-x-a（a＞0且a≠1）有两个零点，就是函数y=ax（a＞0，且a≠1）与函数y=x+a的图象有两个交点，
由图象可知当0＜a＜1时两函数只有一个交点，不符合条件．
当a＞1时，因为函数y=ax（a＞1）的图象过点（0，1），而直线y=x+a所过的点（0，a），
此点一定在点（0，1）的上方，∴一定有两个交点．
∴实数a的取值范围是（1，+∞）．
故选A．
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
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