题目

设函数，则f（x）=sin（2x+

π

4

）+cos（2x+

π

4

），则（　　）
A. y=f（x）在（0，

π

2

）单调递增，其图象关于直线x=

π

4

对称
B. y=f（x）在（0，

π

2

）单调递增，其图象关于直线x=

π

2

对称
C. y=f（x）在（0，

π

2

）单调递减，其图象关于直线x=

π

4

对称
D. y=f（x）在（0，

π

2

）单调递减，其图象关于直线x=

π

2

对称

提问时间：2020-10-20

答案

因为f（x）=sin（2x+

π

4

）+cos（2x+

π

4

）=

2

sin（2x+

π

2

）=

2

cos2x．由于y=cos2x的对称轴为x=kπ（k∈Z），所以y=

2

cos2x的对称轴方程是：x=

kπ

2

（k∈Z），所以A，C错误；y=

2

cos2x的单调递减区间为2kπ≤2x≤π+2kπ（k∈Z），即kπ≤x≤

π

2

+kπ（k∈Z），函数y=f（x）在（0，

π

2

）单调递减，所以B错误，D正确．
故选D．

利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数f（x）=sin（2x+

π

4

）+cos（2x+

π

4

），然后求出对称轴方程，判断y=f（x）在（0，

π

2

）单调性，即可得到答案．

本题考点：正弦函数的对称性；正弦函数的单调性．

考点点评：本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的性质：对称性、单调性，考查计算能力，常考题型．