题目

n为大于1的整数,证明;n的9次方-n的3次方可被504整除

提问时间：2020-10-20

答案

n^9- n^3=n^3(n^6- 1)=n^3(n^3-1)(n^3+1)……（1）式
1、 当n是偶数时,n^3 能被8整除,(1)式能被8整除.
当n是奇数时,(n^3-1) 和 (n^3+1) 是两个相邻的偶数,其中一个必能被4整除,即(n^3-1) (n^3+1) 能被8整除,(1)式能被8整除.
因此对于任意整数n,(1)式均能被8整除.
2、 当n能被7整除时,n^3 能被7整除,(1)式能被7整除.
设n=7k+1时,n^3-1=(7k+1)^3-1=(7k)^3+3×(7k)^2+3×(7k)+1-1＝(7k)^3+3×(7k)^2+3×(7k)能被7整除.
设n=7k+2时,n^3-1=(7k+2)^3-1=(7k)^3+3×(7k)^2×2+3×(7k)×4+8-1＝(7k)^3+6×(7k)^2+12×(7k)+7能被7整除.
设n=7k+4时,n^3-1=(7k+4)^3-1=(7k)^3+3×(7k)^4×2+3×(7k)×16+64-1＝(7k)^3+12×(7k)^2+48×(7k)+63能被7整除.
当n除以7余1,2,4时,n^3-1能被7整除,(1)式能被7整除.
设n=7k+3时,n^3+1=(7k+3)^3-1=(7k)^3+3×(7k)^2×3+3×(7k)×9+27+1＝(7k)^3+9×(7k)^2+27×(7k)+28能被7整除.
设n=7k+5时,n^3+1=(7k+5)^3-1=(7k)^3+3×(7k)^2×5+3×(7k)×25+125+1＝(7k)^3+15×(7k)^2+75×(7k)+126能被7整除.
设n=7k+6时,n^3+1=(7k+6)^3-1=(7k)^3+3×(7k)^2×6+3×(7k)×36+216+1＝(7k)^3+18×(7k)^2+108×(7k)+217能被7整除.
当n除以7余3,5,6时,n^3+1能被7整除,(1)式能被7整除.
因此对于任意整数n,(1)式均能被7整除.
3、 以此类推,
当n除以9余0,3,6时,n^3能被9整除,(1)式能被9整除.
当n除以9余1,4,7时,n^3-1能被9整除,(1)式能被9整除.
当n除以9余2,5,8时,n^3+1能被9整除,(1)式能被9整除.
因此对于任意整数n,(1)式均能被9整除.
4、 因此对于任意整数n,(1)式均能被7、8、9整除.
因为7,8,9没有公约数,7×8×9＝504
所以n^9- n^3可被504整除