题目

有谁能给出有关指数函数单调性的严格证明?
可以详细一点吗
我就是想避开使用高数的办法：
我想的是设X1小于X2，即△x=X2-X1＞0
∴△y＝a^X2-a^X1=a^X1*[a^(X2-X1)-1]
∴当a＞1 时,只要能证明a^(X2-X1)＞1就可以说明函数在
a＞1是增函数了。
所以现在的问题又变为该怎样证明在当a＞1时，有a^(X2-X1)＞1。这好像又涉及到幂函数的单调性问题。
幂函数该怎么处理呢？如果谁知道就好了（尽量避开高等数学）

提问时间：2020-10-20

答案

对a^x,a > 0,讨论它的单调性就不能不先说明它的确切定义.
指数函数是定义在整个实数区间上的.我们先说在整数上的定义：
a^n = a * a * ...* a （n > 0,下同）（n个a相乘）
a^0 = 1
a^(-n) = 1 / a^n
再说有理数集上的定义：
a^(1 / n) = a的n次算术根,
a^(p / q) = (a^p)的q次算术根,其中p / q是既约分数.
这样一来,有理数集上的指数函数就定义好了.并且用初等的方法不难证明在有理数集上a^(p / q)的单调性.事实上,对a^(p1 / q1)和a^(p2 / q2),可以把分数p1 / q1和p2 / q2通分,这样分母相同,设分别是p1' / q,p2' / q.现在就是在比以a^(1 / q)为底,以p1'和p2'为指数的两个数大小.显然当a > 1时,a^(1 / q) > 1,从而可知函数是严格单调增的；反之,a < 1时,也能证出函数是严格单调减的.
现在对任意的实数x,可以取一个有理数列{Qn},当n无限增大时它单调趋于x,那么就可以把a^x定义为a^Qn当n无限增大时的极限.
我们用有理数列来逼近指数函数,那么对相差任意接近的两个实数就可以取两个足够精确的有理数来代替它们,并且保持大小关系不变.（当然,这其中还有一些运算保证,比如说,前面那个定义为什么是合理的,即为什么极限存在等等,我就不写了.）这样一来,实数下指数函数的单调性可以化归为有理数下的单调性,并与之相同.