题目

△ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，∠AQN等于多少度？

提问时间：2020-10-20

答案

证法一．
∵△ABC为正三角形
∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC
在△AMB和△BNC中

AB＝BC ∠ABC＝∠C BM＝CN

，
△AMB≌△BNC（SAS），
∵∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC，
∠MAN=∠BAC-∠MAB=60°-∠MAB，
又∵∠NBC=∠MAB（全等三角形对应角相等），
∴∠ANB+∠MAN=120°，
又∵∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°，
∴∠AQN=180°-∠ANB-∠MAN，
∠AQN=180°-（∠ANB+∠MAN），
=180°-120°=60°，
∠BOM=∠AQN=60°（全等三角形对应角相等）．
证法二．
∵△ABC为正三角形
∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC
在△AMB和△BNC中

AB＝BC ∠ABM＝∠BCN BM＝CN

∴△AMB≌△BNC（SAS）
∵∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC
∠MAN=∠BAC-∠MAB
又∵∠NBC=∠MAB（全等三角形对应角相等）
∴∠ANB+∠MAN=120°
又∵∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°
∴∠AQN=180°-∠ANB-∠MAB
∠AQN=180°-（∠ANB+∠MAN）
=180°-120°=60°

先根据已知利用SAS判定△ABM≌△BCN，再根据全等三角形的性质求得∠AQN=∠ABC=60°．

本题考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：此题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；三角形全等的证明是正确解答本题的关键．