题目

已知：如图，在正方形ABCD中，AD=1，P、Q分别为AD、BC上两点，且AP=CQ，连接AQ、BP交于点E，EF平行BC交PQ于F，AP、BQ分别为方程x²-mx+n=0的两根．
（1）求m的值；
（2）试用AP、BQ表示EF；
（3）若S_△PQE=

1

8

提问时间：2020-10-20

答案

（1）∵AP=QC，AP+BQ=QC+BQ=BC=1，
又∵AP、BQ分别为方程x²-mx+n=0的两根，
所以有AP+BQ=m，AP•BQ=n，
∴AP+BQ=m=1．
即m=1．
（2）∵EF∥AP，
∴

EF

AP

＝

EQ

AQ

，
又∵AP∥BQ，
∴

EQ

AE

＝

BQ

AP

，
∴

EQ

AE+EQ

＝

BQ

AP+BQ

即

EQ

AQ

＝

BQ

AP+BQ

，
∴

EF

AP

＝

BQ

AP+BQ

，即：EF＝

AP•BQ

AP+BQ

．
∵AP+BQ=1，
∴EF=AP•BQ．
（3）连接QD，则EP∥QD
得：S_△AQD=

1

2

，
且S_△AEP：S_△AQD=AP²：AD²=AP²：1=AP²，
∴S_△AEP=AP²•S_△AQD=

1

2

AP²，
∴S_△PQE：S_△AEP=EQ：AE，
即

1

8

：

1

2

AP²=EQ：AE=BQ：AP，
∴AP•BQ=

1

4

，即：n=

1

4

．