题目

两个正态分布相互独立是两个正态分布的线性函数也是正态分布什么条件
为什么说判断正态分布的函数是否服从正态分布要看两个函数是否独立或者是否服从二维正态分布?两个正态分布相互独立和他们服从二维正态分布之间有什么关系?

提问时间：2020-10-20

答案

两个独立正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态分布.
这是二维正态分布的边缘分布(不需要独立)的线性组合服从正态分布的特殊情况.
因为若X, Y服从相互独立的正态分布, 则(X,Y)服从二维正态分布(密度函数为fX(x)·fY(y)).
若没有独立或服从二维正态分布这样的条件, 则可以有下面这样的反例:
设X服从标准正态分布, Y服从与之独立的两点分布: P(Y = 1) = 1/2, P(Y = -1) = 1/2.
则XY与|X|·Y都服从标准正态分布, 但二者的和并不服从正态分布(取0的概率为1/2).