题目

已知P是椭圆

x2

25

+

y2

9

=1上的点，F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，若

PF1 • PF2

| PF1 |•| PF2 |

=

1

2

，则△F₁PF₂的面积为 ___ ．

提问时间：2020-10-20

答案

已知P是椭圆

x2

25

+

y2

9

=1上的点，F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，
则：|PF₁|+|PF₂|=10，|F₁F₂|=8
在△PF₁F₂中，利用余弦定理得：|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF₂|cosθ
cosθ=

PF1 • PF2

| PF1 |•| PF2 |

=

1

2

解得：θ=

π

3

则：|PF₁||PF₂|=12
S△F1PF2=

1

2

|PF1||PF2|sinθ=3

3

故答案为：3

3

首先利用椭圆的方程求得：|PF₁|+|PF₂|=10，|F₁F₂|=8，进一步利用余弦定理|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2−2|PF1||PF₂|cosθ解得：|PF₁||PF₂|=12，在利用向量的夹角求出θ，最后利用三角形的面积公式求的结果．

本题考点：椭圆的简单性质．

考点点评：本题考查的知识要点：椭圆的定义和性质，余弦定理得应用，向量的夹角，及三角形的面积的应用．