题目

P为椭圆x^2/25+y^2/16=1上任一点,F1,F2为左右焦点,(1)若角F1PF2为60度,求|PF1|*|PF2|的值?
(2)求|PF1|*|PF2|的最值

提问时间：2020-10-20

答案

（1）设|PF1|=n,|PF2|=m,则n+m=10
且n²+m²=（n+m）²-2nm=10²-2nm
而|F1F2|=8
由余弦定理有：cos60°=（n²+m²-8²）2nm
1/2=（10²-2nm-8²）/2nm
解得nm=12
所以此时|PF1|*|PF2|=12
（2）椭圆焦半径公式：P到F1的距离为a+ex,P到F2的距离为a-ex,其中e是离心率,x为椭圆上任意一点的横坐标,则x∈[-a,a]
这题中,a=5,b=3,c=4,则e=4/5
由焦半径公式有：|PF1|=a+ex=5+(4/5)x,|PF2|=a-ex=5-(4/5)x
|PF1|*|PF2|=[5+(4/5)x][5-(4/5)x]=(-16/25)x²+25
∵x∈[-5,5]
故最大值是当x=0时,取得25
最小值是x=-5或者x=5时,取得9