题目

x-sinx的等价无穷小?
他们说是X^3/6,但我这样做的：
x-sinx=x/2（2-2sin(x/2)*cos(x/2)/(x/2）)=x/2(2-2cos(x/2))=x（1-cos（x/2））=x*2*（sinx/4）^2=x^3/8
请问我错在哪里了?

提问时间：2020-10-20

答案

错在（2-2sin(x/2)*cos(x/2)/(x/2）)=2(2-2cos(x/2)) 这一步
你默认了sinθ/θ=1,实际上本题就是要求出sinθ的更高阶无穷小量,这样忽略“过头”了.
事实是,sinθ=θ-θ^3/3!+o(θ^5/5!),(sinθ)/θ=1-θ^2/3!+θ^4/5!+...
在求θ—>0极限时是1,是因为更高阶的无穷小θ^2/3!、θ^4/5!...被忽略了
而本题恰恰是要求次阶无穷小,只能忽略x^5以上更高阶无穷小.