题目

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠PBC=90°，∠PBA≠90°．求证：

（1）AD∥平面PBC；
（2）平面PBC⊥平面PAB．

提问时间：2020-10-20

答案

证明：（1）因为BC∥平面PAD，
而BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD=AD，
所以BC∥AD．
因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
所以AD∥平面PBC．
（2）自P作PH⊥AB于H，因为平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，
所以PH⊥平面ABCD．
因为BC⊂平面ABCD，所以BC⊥PH．
因为∠PBC=90°，所以BC⊥PB，
而∠PBA≠90°，于是点H与B不重合，即PB∩PH=P．
因为PB，PH⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB．
因为BC⊂平面PBC，故平面PBC⊥平面PAB．