题目

正数a1,a2,a3两两不等,且a2-a1=a3-a2,求证1(√a2+√a1)+1(√a2+√a3)=2(√a1+√a3)

提问时间：2020-10-20

答案

左边=(√a2-√a1)(√a2-√a1)(√a2+√a1)+(√a2-√a3)(√a2-√a3)(√a2+√a3)
=(√a2-√a1)(a2-a1)+(√a2-√a3)(a2-a3)
a2-a1=a3-a2
所以a2-a3=-(a2-a1)
所以左边=(√a2-√a1)(a2-a1)+(√a2-√a3)(a2-a3)
=(√a2-√a1)(a2-a1)-(√a2-√a3)(a2-a1)
=(√a2-√a1-√a2+√a3)(a2-a1)
=(√a3-√a1)(a2-a1)
右边=2(√a1-√a3)(√a1+√a3)(√a1-√a3)
=2(√a1-√a3)(a1-a3)
a2-a1=a3-a2
所以a3=2a2-a1
所以a1-a3=a1-2a2+a1=2(a1-a2)
所以右边=2(√a1-√a3)(a1-a3)=2(√a1-√a3)2(a1-a2)
=(√a1-√a3)(a1-a2)
=(√a3-√a1)(a2-a1)
=左边
所以1(√a2+√a1)+1(√a2+√a3)=2(√a1+√a3)